酒店是如何安排客人房間的？希爾伯特旅館悖論告訴你

希爾伯特旅館悖論源于伽利略。在《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書中，他經(jīng)過初步觀察之后發(fā)現(xiàn) ：平方數(shù)肯定比自然數(shù)的數(shù)量要少。但是我們可以把每個平方數(shù)和其自然數(shù)一一對應起來，因此這兩個集合所包含的元素應該是一樣多的。在有著上千年歷史的希臘哲學傳統(tǒng)的影響下，伽利略得出的結(jié)論是沒有人可以用無窮大的數(shù)字來解決數(shù)學問題，盡管他自己經(jīng)常背離這個傳統(tǒng)。

接下來讓我們詳細講講希爾伯特旅館悖論吧！有一個美麗的度假勝地，這里的旅館有一個獨特之處 ：它有無數(shù)的房間，所有的房間都對應一個固定的數(shù)字。不巧的是，里面所有的房間都住滿了，但是旅館從來沒有貼出過“房已住滿”的告示。事實上，如果有一位新客人入住，那么旅館就會安排他到1號房間，把1號房間原來的客人安排到2號房間（“我們理解您的不便，但我們向您保證，新房間將比現(xiàn)在這間更好!”）。2號房間的客人將被轉(zhuǎn)到3號，3號到4號，直到n+1號房間，這樣每個人都有自己的房間。不用說，就算來的新客人有100萬個，這種方法也適用。到了康托爾杯決賽這天，無數(shù)球迷涌進來，這個時候事情就有點復雜了，經(jīng)理沒辦法把新客人安排到“無限大”號的房間里，因為無限大不是一個數(shù)字。不過經(jīng)理是個很會變通的人，他把1號房間的客人安排到2號房間，把2號房間的客人安排到4號房間，以此類推，把n 號房間的客人安排到2n 號房間，這樣就把所有的奇數(shù)號房間空出來，只有偶數(shù)號房間住了客人，那么新來的球迷客人就能住到奇數(shù)號房間里。這樣一來，除了換房間的麻煩和清潔費用變多以外，就沒有其他煩人的事了。

還有其他的情況。希爾伯特旅館屬于一家連鎖酒店，這家連鎖酒店有無數(shù)個像希爾伯特旅館這樣有無數(shù)房間的旅館。為了節(jié)約成本，酒店決定關(guān)閉其他的有無數(shù)房間的旅館，把所有客人都安排到希爾伯特旅館。這個時候旅館經(jīng)理要怎么安排讓無數(shù)個客人住進無數(shù)個房間呢？

我們可以選擇最簡單的一種方法，將住在n 號房間的客人安排到2n 號房間里。然后給其他旅館單獨編一個編號（質(zhì)數(shù)），那么p 旅館n 號房間的客人在希爾伯特旅館的房間的編號就是p×2n 。由于因數(shù)分解定理的獨特性，不會產(chǎn)生兩個客人被安排到同一個房間的狀況。唯一可能產(chǎn)生的狀況是旅館還剩下很多空房間，酒店的管理人員會繼續(xù)抱怨資源浪費。不過旅館經(jīng)理很聰明，他設(shè)計了如圖1所示的換房間路徑。從希爾伯特旅館開始對所有旅館進行編號，希爾伯特旅館為1號旅館。每當需要安排房間時，則先按圖中的方向進行移動。第一次安排房間，1號旅館1號房間的客人保持不動，2號和3號房間的客人則分別被2號旅館1號房間的客人和1號旅館2號房間的客人所取代，2號旅館1號房間空出。第二次安排房間，4 ～ 6號房間的客人則分別被1號旅館3號房間的客人、2號旅館2號房間的客人和3號旅館1號房間的客人所取代，原來房間的客人則按方向進行移動 ；以此類推。客人也可以從圖中看出自己該住哪個房間。

但是可別以為能用這種方法接待所有類型的客人。如果來的客人是公司的代表，每個代表都有對應的公司表示，并且有獨一無二的位置做區(qū)分，那么正如康托爾所言，這種情況下就沒辦法接待這些客人了。他們得去用實數(shù)進行編號的連鎖酒店而不是去用自然數(shù)編號的旅館，似乎……總之，這些區(qū)別是無窮無盡的。

最后，我再介紹一個更加令人不安的悖論。在希爾伯特旅館里有很嚴格的禁煙規(guī)定，不僅旅館里面不允許吸煙，外面來的人也不允許把煙帶進去。有一天晚上，1號房間的客人突然非常想吸煙，但是他沒有煙，于是他去找2號房間的客人。2號房間的客人也沒有煙，但是他也很想吸煙，所以去找3號房間的客人想要兩支香煙，一支給自己，一支給1號房間的客人，以此類推，那么在n 號房間的客人可以從n+1號房間獲得n 支香煙，一支自己抽，另外的n-1支給前面房間的客人，如此一來大家都能抽到煙，這是怎么做到的呢？